Rebecca Goldsteinová: Neúplnost. Důkaz a paradox Kurta Goedela. Argo a Dokořán, Praha 2006, váz. 268 str., ISBN 80-7363-057-5, cena 298 Kč.

Jméno Kurta Goedela není širší veřejnosti příliš známé. Neprávem. Bývá považován za jednoho z nejvýznamnějších matematiků všech dob a až do poloviny 20. stol. Byl považován za nejvýznamnějšího matematika 20. stol. Pro nás je pak zajímavé, že se narodil roku 1906 v Brně a až do roku 1929 měl československé občanství, alespoň se to uvádí. Je tak trochu ostuda, že u nás není prakticky vůbec známý a oslavují se např. Spisovatelé, jejichž dílo patří dnes spíše do vetešnictví. Kniha nelíčí prakticky vůbec události jeho života, který ostatně jak se lze dovtípit, nevynikal bohatstvím nějakých vnějších událostí. Ostatně jeho podrobnější životopis zveřejnil asi před 12 lety časopis Jednoty českých matematiků a fyziků Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 
Autorka je profesorkou filozofie přednáší na Trinity College v Hartfordu. Proč píše filozofka o matematikovi? Odpověď je jednoduchá Goedel byl matematický logik. A logika stála občas tak trochu na okraji zájmu a uznání matematiků, jako obor matematiky. Ostatně v čase našich studií učitelství matematiky na vysoké škole nebyla logika součástí přípravy budoucích učitelů matematiky. Ostatně o logiku se matematika dělí tak trochu s filozofií. To ukazuje na to, že matematika je svou abstraktností tak trochu výjimečná mezi přírodními vědami, spíše se blíží k filozofií, ostatně dříve se učila na filozofické fakultě.
Proč Goedel není tak známý. Nebyl dostatečně charizmatický, jak se dnes říká, byl introvert a příliš, přesně vůbec se nemedializoval, v posledních dvaceti letech svého života prakticky nepublikoval, psal do šuplíku. Žil v Princetonu v USA, spolu s Einsteinem, který byl do své smrti jeho jediným přítelem, se kterým více komumikoval. Abychom byli srozumitelnější, Goedel byl tak trochu blázen, jak se lidově říká, nebo-li trpěl paranoidní schizofrenií. A ta se mu stala osudná, když jeho žena onemocněla a byla hospitalizována, přestal prakticky úplně příjímat potravu. V nejbohatším státu světa se utrápil hlady, trpěl totiž bludem, že ho někdo chce otrávit. Tragedie, když se stane obyčejnému člověku a ještě větší, když postihne génia.
O čem, tedy kniha vůbec je, když se prakticky vůbec nedotýká jeho života? O jeho objevech, které se snaží přiblížit širšímu okruhu čtenářů. Ovšem, přesto, že se snaží autorka přiblížit jeho objevy a jejich důkazy, příliš jsem těm důkazům a jejich podstatě neporozuměl. Asi proto, že nejsem dostatečně dobrý matematik. Ostatně se uvádí, že na matematických konferencích a kongresech jsou přednáškové sály plně diváků a přednášející sklízejí aplaus, přesto, že přihlížející tomu prakticky vůbec nerozumí. Podobné pocity jsem měl, když jsem četl výše zmíněný časopis Pokroky.. rozuměl jsem prakticky jen životopisům matematiků. Ostatně, když Goedel v diskusi na konferenci logiků v Královci (dnešní Kaliningrad) oznámil 7. října 1930 svůj objev, příliš ho nezaregistrovali.
Abych přiblížil ještě jinak obtížnost pochopení matematických děl, uvedeme ještě jiný příklad. Uváděl jsem, že Goedel byl považován až do poloviny 90. let 20. stol. Za největšího matematika 20. stol. Někdy v roce 1993 ho předstihl britský matematik Andrew Wiles, rovněž žijící v Princetonu, kde dodnes působí na Institutu pokročilých studií, ráji matematiků, založeném ve 30. letech, jehož prvními klenoty byl právě Einstein a Goedel. Wiles dokázal tvrzení, které je nazýváno Velkou Fermatovou větou, nejsložitější matematický problém všech dob, který se snažili matematikové vyřešit 350 let od 17. stol. Když Wiles zveřejnil svůj důkaz, údajně ho bylo schopno ověřit jen 7-8 matematiků světa. První verze se ukázal mít drobný nedostatek, ale nakonec ho Wiles odstranil. Tedy matematikové příliš nerozumí ani sami sobě navzájem. Velká Fermatova věta, je srozumitelná i laikům,. Alespoň svým vyjádřením. Tvrdí, že rovnice xn +yn =zn nemá celočíselná řešení, která nejsou triviální (tedy vylučují se nuly), pro n>2, pro n=2 jde o tzv. Pythagorejská čísla, např. 3,4,5 (5,12,13) atd.
Je škoda, že velebíme nejrůznější mediální pomíjivé hvězdičky, jejichž přínos pro společnost je nulový, ale nic nevíme o některých významných osobnostech. Ostatně, není to až zas tak nepochopitelné, rozumět hokeji dokáže v našich končinách prakticky každý muž, s chápáním matematiky, je to trochu složitější. Ostatně jednodušší lidé si ani neuvědomují, že znají jen legendu, nikoliv člověka či vědce jako takového. Zatím co Einsteinovi či Newtonovi dělali jeho současníci legendu a rozpoutali kolem něj mediální kampaň, díky které jsou světoznámí, aniž by širší veřejnost byť jen trochu chápala podstatu jejich objevů, Goedelovi nikdo reklamu nedělal, proto ho dnes kromě lidí, kteří mají hlubší zájem o matematiku a logiku, nikdo nezná. Není to ostatně jen jeho osud.
Tedy co vlastně Goedel dokázal?
Goedel dokázal tzv. Věty o neúplnosti a větu o úplnosti. David Hilbert – velký německý matematik 2. pol. 19. stol a 1. pol. 20.stol. formuloval v roce 1900 na Mezinárodním matematickém kongresu v Paříži 23 problémů, které jsou pro matematiku nejdůležitější. Jeho druhý problém zněl: prokázat konzistentnost axiomů aritmetiky. Jeho naléhavost byla přímým důsledkem příklonu k formalismu v matematice, jehož hlavním představitelem byl právě Hilbert. „Matematika je hra, jež se hraje na papíře podle jistých jednoduchých pravidel se značkami bez významu“ napsal Hilbert. Jeho návrh, formalizovat všechny matematické obory počínaje aritmetikou, se říká Hílbertův program. Tedy vybudovat všechny matematické obory od axiomů, tedy jednoduchých tvrzení, jejichž pravdivost se považuje za pravdivá apriori, tedy jaksi samo sebou. První axiomatickou teorii byla geometrie v díle Eukleida Základy, které pochází ze Starověku 
Problém konzistentnosti aritmetiky se ukázal důležitý tváří v tvář paradoxům, které se vynořovaly v matematice. 
Disertační práce Goedela byla o úplnosti predikátové logiky, tedy logiky prvního řádu, anebo také logiky s kvantifikátory. Tedy, že takové logicky pravdivé výroky jsou dokazatelné v rámci formálního systému průzračné logiky. 
Na konferenci v Královci v diskusi utrousil Goedel, že „je možné, že existují pravdivé, ale nedokazatelné aritmetické výroky, a že navíc dokázal, že existují“ Jeho důkaz dokazuje, že existují pravdivé aritmetické výroky, které nejsou dokazatelné.
„Syntaktické rysy formálních systémů- které nás měly zbavit příčin paradoxů – nedokážou zachytit všechny pravdy o systému, a to ani pravdu o své vlastní konzistentnosti Goedel dokázal, že konzistentnost, jejíž důkaz měl poskytnou solidní základy Hilbertova programu (jehož cílem byl zamezit utváření paradoxů v matematice), není v dosahu tohoto problému“
(viz kniha str. 140).
První Goedelova věta o neúplnosti: V jakémkoliv formálním systému obsahujícím elementární aritmetiku, pokud je tento systém konzistentní, existují dokazatelně nedokazatelné, nicméně pravdivé výroky
Druhá věta o neúplnosti říká, že konzistentnost formálního systému, který obsahuje aritmetiku, nelze formálně dokázat (viz kniha str. 158)
Goedelova druhá věta o neúplnosti, která je přímým důsledkem první, v podstatě likviduje Hilbertův program matematické průhlednosti (viz kniha str. 161).

Pokud jste příliš nerozuměli, nelámejte si s tím hlavu, bylo by to asi nad síly budoucích učitelů matematiky, proto se to ani na vysoké škole neučí. Nakladatelství Dokořán připravuje další lahůdku, knihu Wittgensteinovi, o které jsou dlouhé pasáže i v této knize (O Goedelovi). Já se na ní těším. Zatím si můžete zakoupit a přečíst knihu o Goedelovi.
Vašíček Karel
Přidáno 28.12.2006